题目内容
22、阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
（1）如图（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=
150°
，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP
这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
分析：（1）此类题要充分运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出∠PAP′=60°，再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形，即可得出∠APP′的度数，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明．
（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明．
解答：解：（1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC，△PP′C是直角三角形，∠APB=∠AP′C=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；
（2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
又AG=AF，AE=AE．
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
即BE2+CF2=EF2．
解：（1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC，△PP′C是直角三角形，∠APB=∠AP′C=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；
（2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
又AG=AF，AE=AE．
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
即BE2+CF2=EF2．
点评：熟练掌握旋转的性质，充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段之间的关系．
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