题目内容

(2004•湟中县)阅读材料:如图在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为P.
求证:S四边形ABCD=AC•BD.
证明:AC⊥BD?
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=AC•PD+AC•BP
=AC(PD+PB)=AC•B D
解答问题:
(1)上述证明得到的性质可叙述为______;
(2)已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD且相交于点P,AD=3cm,BC=7cm,利用上述的性质求梯形的面积.

【答案】分析:本题的关键是求出AC,BD的长,可过A,D分别作BC的垂线AE,DF,在直角三角形BFD中,可根据两底的差求出BE,CF的长,也就求出了BF,CE的长,要求BD还需知道直角三角形中一个锐角的度数,可通过全等三角形ACB和DBC得出∠DBC=∠ACB=45°,由此可得出BD,AC的长,进而根据题目给出的面积计算方法求出梯形的面积.
解答:解:(1)叙述:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半;

(2)∵四边形ABCD为等腰梯形,
∵BD=AC,AB=CD,BC=BC
∴△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DBC=45°,
在直角三角形BPC中,∠DBC=45°,BP====BC=
同理可得PD=,BD=BP+PD=5
又等腰梯形对角线相等,即BD=AC=5cm
∴S梯形=•BD•AC=25(cm2
点评:本题主要考查了等腰梯形性质的应用,根据等腰梯形的性质得出∠DBC等于45°是解题的关键.
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