Question

数学上有许多神奇的数列，仔细观察，你会发现其中的规律．

（1）数学上著名的“杨辉三角”如图1：根据图中规律可知：第6层上的数从左到右依次是

 

；
（2）将从1开始的自然数排列如图2：根据图中规律可知：第8层的第一个数是

 

，第8层的最后一个数是

 

；
（3）将从1开始的自然数按如图3方式排列：根据图中规律可知：第7行第1列上的数字是

 

；第1行第7列上的数字是

 

；第n行第n列上的数字是

 

．

Answer 1

分析：（1）根据规律，左右两边的数都是1，从第2个数开始，分别是上一层相邻的两个数的和，然后写出即可；
（2）观察可知，每一层的第一个数是上一层的层数的平方加1，最后一个数等于所在层数的平方，然后计算即可得解；
（3）观察可知，第奇数行的第一列上的数字是上一行的行数的平方加1，第偶数行的第一列数是相应的列数的平方，第1行的第奇数列上的数是列数的平方；第n行第n列上的数字为行数的平方小（n-1）的数．

解答：解：（1）第6层上的数从左到右依次是：1、5、10、10、5、1；

（2）第8层的第一个数是7²+1=50，第8层的最后一个数是8²=64；

（3）第7行第1列上的数字是6²+1=37；
第1行第7列上的数字是7²=49；
第n行第n列上的数字是n²-（n-1）=n²-n+1．
故答案为：（1）1、5、10、10、5、1；（2）50，64；（3）37，49，n²-n+1．

点评：本题是对数字变化规律的考查，难度较大，仔细观察平方数所在层数或行数和列数的位置是解题的关键．