题目内容

如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=
kx
的图象交于M、N两点.
(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OM、ON,求三角形OMN的面积.
(3)连接OM,在x轴的正半轴上是否存在点Q,使△MOQ是等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标,若不存在,说明理由.
分析:(1)把N的坐标代入反比例函数,能求出反比例函数解析式,把M的坐标代入解析式,求出M的坐标,把M、N的坐标代入y=ax+b,能求出一次函数的解析式;
(2)求出MN与x轴的交点坐标,求出△MOC和△NOC的面积即可;
(3)符合条件的有3个①OM=OQ,②OM=MQ,③MO=OQ,根据M的坐标求出即可.
解答:解:(1)把N(-1,-4)代入y=
k
x
得:k=4,
∴y=
4
x

把M(2,m)代入得:m=2,
∴M(2,2),
把N(-1,-4),M(2,2)代入y=ax+b得:
-4=-a+b
2=2a+b

解得:a=2,b=-2,
∴y=2x-2,
答:反比例函数的解析式是y=
4
x
,一次函数的解析式是y=2x-2.

(2)设MN交x轴于C,
y=2x-2,
当y=0时,x=1,
∴C(1,0),
OC=1,
∴△MON的面积是S=S△MOC+S△NOC=
1
2
×1×2+
1
2
×1×|-4|=3,
答:三角形MON的面积是3.

(3)当OM=OQ时,Q的坐标是(2
2
,0);
当OM=MQ时,Q的坐标是(4,0);
当OQ=QM时,Q的坐标是(2,0);
答:在x轴的正半轴上存在点Q,使△MOQ是等腰三角形,所有符合条件的点Q的坐标是(2
2
,0)或(4,0)或(2,0).
点评:本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式,三角形的面积,等腰三角形的判定等知识点,此题综合性比较强,题型较好,分类讨论思想的运用.
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