题目内容

(本小题满分15分)如图1,抛物线经过点A和点B.已知点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是-2.

(1)求的值及点B的坐标; 

(2)设点D为线段AB上的一个动点,过Dx轴的垂线,垂足为点H.在DH的右侧作等边△DHG. 将过抛物线顶点的直线记为,设x轴交于点N.

① 如图1,当动点D的坐标为(1,2)时,若直线过△DHG的顶点G.求此时点N的横坐标是多少?

② 若直线与△DHG的边DG相交,试求点N横坐标的取值范围.

 

 

(1)∵ 点A(2,4)在抛物线上,

∴代入得 =1                                ……………………………1分

于是抛物线的解析式为

又∵点B的横坐标为-2,代入得  ∴  B(-2,-4)     ………………2分

(2)①由题意 M(1,5),D(1,2),且DHx轴,

∴ 点MDH上,MH=5.

过点GGEDH,垂足为E.

DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,

ME=4.                   

N ( x,0 ),则 NHx-1,

由△MEG∽△MHN,得.                      ………………5分

, 解得

∴点N的横坐标为.                       ……………………6分

②如右图,当点D运动至与点A重合时,直线DG交于点G,此时点N的横坐标最大.

过点GMx轴的垂线,垂足分别为点QF.设Nx,0)

∵  A (2, 4), ∴ G (, 2)

∴  NQ=NF =GQ=2,MF =5.

由题意,

NGQ∽△NMF

.                                     ……………………9分

.

.                                   ……………………10分

如右图,当点D运动至与点B重合时,直线DG交于点D(即点B)此时点N的横坐标最小. ∵B(-2, -4) ,∴  H(-2, 0),D(-2, -4).设Nx,0).由题意△BHN∽△MFN

.                       ……………………13分

   ∴        ……………………14分

综上,点N的横坐标取值范围是x ……15分

 

 

解析:略

 

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