Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的延长线上有点D，AC=3CD，连接BD，E为BD的中点，CE是⊙O的切线．

（1）求证：BD与⊙O相切；

（2）求∠ACE的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）120°

【解析】

（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得CE＝BE＝DE，所以∠1＝∠2，接着根据切线的性质得∠1＋∠3＝90°，于是∠2＋∠4＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）设CD＝x，则AC＝3x，先证明△ABC∽△ADB，利用相似比得到AB＝2x，然后在Rt△ACB中利用余弦定义求出∠A＝30°，则∠OCA＝∠A＝30°，从而得到∠ACE的度数．

（1）连接OC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵E为BD的中点，

∴CE=BE=DE，

∴∠1=∠2，

∵OB=OC，

∴∠3=∠4，

∵CE是⊙O的切线．

∴OC⊥CE，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2+∠4=90°，即∠OBE=90°，

∴BD⊥AB，

∴BD与⊙O相切；

（2）解：设CD=x，则AC=3x，

∵∠CAB=∠BAD，∠ACB=∠ABD=90°，

∴△ABC∽△ADB，

∴，即，

∴AB=2x，

在Rt△ACB中，∵cosA==，

∴∠A=30°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠ACE=30°+90°=120°．