Question

我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数y=3x²的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是y=3（x+2）²-4．
类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：
（1）将y=

1

x

的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为

 

，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为

 

；
（2）函数y=

x+1

x

的图象可由y=

1

x

的图象向

 

平移

 

个单位得到；y=

x-1

x-2

的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到
（3）一般地，函数y=

x+b

x+a

（ab≠0，且a≠b）可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）设新函数的解析式为y=

1

x+k

，原函数上的一个点为（1，1）向右平移1个单位后的点为（2，1）代入新函数得：k=-1，就有y=

1

x-1

再向上平移1个单位，点变为（2，2），设新函数为y=

1

x-1

+b，把新点代入得b=1那么y=

1

x-1

+1=

x

x-1

；
（2）先把所给函数进行分解得y=1+

1

x

，那么应是由y=

1

x

的图象向上平移1个单位得到；把后面的函数解析式分解得y=

1

x-2

+1，那么应是由y=

1

x

的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到；
（3）由（1）（2）得到结论．

解答：解：（1）y=

1

x-1

；y=

x

x-1

．（2分）

（2）上，1；（3分）
y=

x-1

x-2

可转化为y=

1

x-2

+1
它的图象可由反比例函数y=

1

x

的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．（4分）

（3）函数y=

x+b

x+a

（ab≠0，且a≠b）可转化为y=

b-a

x+a

+1．
当a＞0时，y=

x+b

x+a

（ab≠0，且a≠b）的图象可由反比例函数y=

b-a

x

的图象
左平移a个单位，再向上平移一个单位得到；
当a＜0时，y=

x+b

x+a

（ab≠0，且a≠b）的图象可由反比例函数y=

b-a

x

的图象向左平移-a个单位，再向上平移一个单位得到．（6分）

点评：无论进行怎样的平移，反比例函数的弯曲度不会改变，即比例系数不变．左右平移改变点的横坐标；上下平移改变点的纵坐标．移动方法为：上加下减，左加右减．