Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求证：∠BPQ=60°；
(3)求AD的长．

Answer 1

（1）（2）见解析；（3）9

试题分析：（1）由于△ABC是等边三角形，那么有AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，而AE=CD，利用SAS可证△BAE≌△ACD；
（2）由△BAE≌△ACD可得∠1=∠2，根据∠BAE=∠1+∠BAD=60°，等量代换则有∠2+∠BAD=60°，再利用三角形外角性质可得∠BPQ=60°；
（3）在Rt△BPQ，易求∠PBQ=30°，于是可求得BP，从而可求得BE，而△BAE≌△ACD，即可得到结果．
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
(2) 如图所示：

∵△BAE≌△ACD，
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
又∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∴BE=BP+PE=8+1=9，
由（1）知△BAE≌△ACD，
∴AD=BE=9．
点评：解答本题的关键是熟练掌握含有30°的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半.