Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。

(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)连接BC，证明∠ACD=∠ABC；
(3)若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

试题分析：（1）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以证出结论．
（2）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，因为∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，所以∠ACD=∠ABC；
（3）在直角△ABC中，利用三角函数求得AC的长，然后在直角△CAD中，利用三角函数即可求得CD的长．
试题解析：连接OC，

∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
∴直角△ABC中，AC=AB•sinA=12×=，∠BAC=30°
∴在直角△CBD中，∠CBD=∠BAC=30°，CD=AC=．
考点: 1.切线的性质；2. 圆周角定理．