题目内容

【题目】如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与BC重合),PE△ABP的外接圆⊙O的直径.

1)求证:△APE是等腰直角三角形;

2)若⊙O的直径为2,求的值.

【答案】(1)证明见解析;(24

【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°,再由PE⊙O的直径,得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.

2)根据题意可知,AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.

试题解析:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠C=∠ABC=45°,

∴∠PEA=∠ABC=45°

∵PE⊙O的直径,

∴∠PAE=90°,

∴∠PEA=∠APE=45°,

∴△APE是等腰直角三角形.

2∵△ABC是等腰直角三角形,

∴AC=AB,

同理AP=AE,

∵∠CAB=∠PAE=90°,

∴∠CAP=∠BAE,

∴△CPA≌△BAE,

∴CP=BE,

Rt△BPE中,∠PBE=90°,PE=2,

∴PB2+BE2=PE2,

∴CP2+PB2=PE2="4."

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