Question

在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．

【小题1】填空：C点的坐标是　▲　，△ABC的面积是　▲　
【小题2】将△ABC绕点C旋转180°得到△A₁B₁C₁，连接AB₁、BA₁，试判断四边形AB₁A₁B是何种特殊四边形，请说明理由；
【小题3】请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】（1，1），4； (2分)
【小题2】四边形AB₁A₁B是矩形．

∵AC=A₁C，BC=B₁C，AC=BC
∴AA₁=BB₁
∴四边形AB₁A₁B是矩形（2分）
【小题3】易得四边形ABOP的面积等于8．同（1）中的方法得到三点A，B，O构成的面积为6．当P在O左边时，△APO的面积应为2，高为4，那么底边长为1，所以P（-1，0）；
当P在O右边时，△BOP的面积应为2，高为2，所以底边长为2，此时P坐标为（2，0）．
故点P的坐标为（2，0），（-1，0）．（2分）

解析