Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=DC，

∴∠A+∠D=180°，

又∵△ABM≌△DCM，

∴∠A=∠D=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形

（2）证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，

∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM．

∴NE=FM，NE∥FM．

∴四边形MENF是平行四边形．

∵△ABM≌△DCM，

∴BM=CM．

∵E、F分别是BM、CM的中点，

∴ME=MF．

∴平行四边形MENF是菱形．

∴EF与MN互相垂直

【解析】（1）由平行四边形的性质和全等三角形的性质得出∠A=90°，即可得出结论；（2）先证明四边形MENF是平行四边形，再证明平行四边形MENF是菱形，即可得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用全等三角形的性质和平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．