Question

如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：
①EF是△ABC的中位线；
②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；
③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；
④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，
其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②④

D．①③④

Answer 1

分析：根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF∥BC，进而可得△AEF∽△ABC，从而得到

AE

AB

=

AF

AC

=

AO

AD

=

1

2

，进而得到EF是△ABC的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半，进而得到△DEF的周长等于△ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=

1

2

AB，AF=

1

2

AC，若四边形AEDF是菱形则AE=AF，即可得到AB=AC．

解答：解：∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
根据折叠可得：EF是AD的垂直平分线，
∴AO=DO=

1

2

AD，AD⊥EF，
∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠ADC=90°，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AF

AC

=

AO

AD

=

1

2

，
∴EF是△ABC的中位线，
故①正确；
∵EF是△ABC的中位线，
∴△AEF的周长是△ABC的一半，
根据折叠可得△AEF≌△DEF，
∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，
故②正确；
∵EF是△ABC的中位线，
∴AE=

1

2

AB，AF=

1

2

AC，
若四边形AEDF是菱形，
则AE=AF，
∴AB=AC，
故③正确；
根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，
不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；
故选：A．

点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．