Question

如图1，已知反比例函数y=

k

x

过点P，P点的坐标为（3-m，2m），m是分式方程

m-3

m-2

+1=

3

2-m

的解，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．
（1）求m值．
（2）试判断四边形PAOB的形状，并说明理由．
（2）如图2，连接AB，E为AB上的一点，EF⊥BP于点F，G为AE的中点，连接OG、FG，试问FG和OG有何数量关系？请写出你的结论并证明．

Answer 1

分析：（1）解出分式方程，即可求出m的值；
（2）先根据三个角都是直角判断出四边形PAOB是矩形，再根据P点坐标为（2，2）判断出PB=PA，从而判断出四边形PAOB是正方形；
（3）延长FE交OA于点H，连接GH 根据∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°判断出BOHF是矩形，再证出△GEF≌△GHO，即可判断OG=FG．

解答：解：（1）由题意解分式方程

m-3

m-2

+1=

3

2-m

，
整理得：
m-3+m-2=-3，
解得：m=1，
经检验知m=1是原分式方程的解．

（2）四边形PAOB是正方形．理由如下：
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°，
∴四边形PAOB是矩形，
又∵m=1，
∴P（2，2），
∴PB=PA=2，
∴四边形PAOB是正方形．

（3）OG=FG．
证明，如右图所示：
延长FE交OA于点H，连接GH，
∵∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°，
∴BOHF是矩形，
∴BF=OH，
∵∠FBE=∠FEB=45°，
∴EF=BF=OH，
∵∠EHA=90°，G为AE的中点，
∴GH=GE=GA，
∴∠GEH=∠GAH=45°，
∴∠GEF=∠GHO，
∴△GEF≌△GHO，
∴OG=FG．

点评：本题考查了反比例函数的性质、函数图象和点的坐标特征及分式方程的解法，综合性较强，是一道难度较大的中考题，要仔细解答．