题目内容
观察下列各图：
（1）第1个图中有1个三角形，第2个图中有3个三角形，第3个图中有6个三角形，第4个图中有
（2）问在上述图形中是否存在这样的一个图形，该图形中共有25个三角形？若存在，请画出图形；若不存在请通过具体计算说明理由；
（3）在下图中，点B是线段AC的中点，D为AC延长线上的一个动点，记△PDA的面积为S1，△PDB的面积为S2，△PDC的面积为S3．试探索S1、S2、S3之间的数量关系，并说明理由．
分析：（1）第一个图中三角形的个数为1；
第二个图中三角形的个数为3=1+2；
第三个图中三角形的个数为6=1+2+3；
…
第n个图中三角形的个数为1+2+3+…+n=
；
当n=10时，可计算出第10个图中三角形的个数．
（2）令
=25，看n是否有正整数解即可．
（3）由于B是AC中点，则△PAB和△PBC等底同高，故S△PBA=S△PBC，由此可得出S1+S3=2S2．
第二个图中三角形的个数为3=1+2；
第三个图中三角形的个数为6=1+2+3；
…
第n个图中三角形的个数为1+2+3+…+n=
| n(n+1) |
| 2 |
当n=10时，可计算出第10个图中三角形的个数．
（2）令
| n(n+1) |
| 2 |
（3）由于B是AC中点，则△PAB和△PBC等底同高，故S△PBA=S△PBC，由此可得出S1+S3=2S2．
解答：解：（1）10；
；
（2）不存在（法一）当n=6时，三角形的个数为
=21；
当n=7时，三角形的个数为
=28；
所以不存在n使三角形的个数为25．
（法二）由
=25，得n（n+1）=50，而不存在两个连续整数的乘积为50，
所以不存在n使三角形的个数为25．
（3）S1+S3=2S2．
∵点B是线段AC的中点，
∴AB=BC，
∴S△PAB=S△PBC，
∴S1+S3=2S2．
| n(n+1) |
| 2 |
（2）不存在（法一）当n=6时，三角形的个数为
| 6×(6+1) |
| 2 |
当n=7时，三角形的个数为
| 7×(7+1) |
| 2 |
所以不存在n使三角形的个数为25．
（法二）由
| n(n+1) |
| 2 |
所以不存在n使三角形的个数为25．
（3）S1+S3=2S2．
∵点B是线段AC的中点，
∴AB=BC，
∴S△PAB=S△PBC，
∴S1+S3=2S2．
点评：本题考查的是规律性问题以及三角形面积的求法；解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．
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