Question

（2006•淮安）阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面积．

∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S_△OAB=AB•r，S_△OBC=BC•r，S_△OCA=CA•r
∴S_△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．可以首先求得其面积是30，其周长是5+12+13=30．再根据其公式代入计算；
（2）同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和的切点，根据四边形的面积等于四个直角三角形的面积进行计算；
（3）根据上述方法和结论，即可猜想到：任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长．
解答：解：（1）以5，12，13为边长的三角形为直角三角形，易求得；

（2）连接OA，OB，OC，OD，并设内接圆半径为r，
可得S_{四边形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA
=a•r+b•r+c•r+d•r=（a+b+c+d）•r．
∴；

（3）猜想：．
点评：考查了学生由特殊推广到一般的能力，掌握多边形的内切圆的半径的计算方法．