Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，设AD=2，BC=4，则四边形AEFD的周长是（　　）

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

分析：首先过点A作AK∥BD，交CB的延长线于K，易证得四边形AKBD是平行四边形，又由四边形ABCD是等腰梯形，根据三线合一与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的知识，即可求得AE=

1

2

CK，又由AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，可得四边形AEFD是矩形，即可求得DF=AE，EF=AD，则可求得四边形AEFD的周长．

解答：解：过点A作AK∥BD，交CB的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形AKBD是平行四边形，
∴AK=BD，BK=AD，AK∥BD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AK=AC，
∵AC⊥BD，
∴AK⊥AC，
∵AE⊥CK，
∴EK=EC，
∴AE=

1

2

CK=

1

2

（BC+BK）=

1

2

（BC+AD）=

1

2

×（2+4）=3，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴DF=AE=3，
四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=2，
∴四边形AEFD的周长是：AE+EF+DF+AD=3+2+3+2=10．
故选C．

点评：此题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．