Question

（2013•甘井子区一模）如图，顶点为D的抛物线y=a（x-5）²-6经过点A（

13

2

，-5），直线CD交y轴于点C（0，4），交x轴于点B．
（1）求抛物线和直线CD解析式；
（2）在直线CD右侧的抛物线上取点E，使得∠EDB=∠CBO，则求点E坐标；
（3）点P为射线CD上一点，在（2）条件下，作射线PE，以P为旋转中心逆时针旋转PE，使得旋转后的射线交x坐标轴于点R，且∠EPR=∠CBO．是否存在点R，使得PE=PR？如果存在，请直接写出点R坐标；不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A（

13

2

，-5）代入y=a（x-5）²-6，求出a=

4

9

，即可得到抛物线的解析式；设直线CD解析式为y=kx+b，将D（5，-6），C（0，4）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（2）延长DE交x轴于点M，作DH⊥x轴于点H．先证明∠EDB=∠MBD，得出MB=MD，设点M的坐标为（t，0），由于B（2，0），D（5，-6），所以t-2=

(t-5)2+36

，解方程求出t=

19

2

，得到M点的坐标为（

19

2

，0），运用待定系数法求出DM的解析式为y=

4

3

x-

38

3

，由于点E为直线DM和抛物线的交点，解方程组

y= 4 3 x- 38 3 y= 4 9 x2- 40 9 x+ 46 9

，即可求出点E坐标；
（3）设R（m，0）．先根据两点间的距离公式求得DE=5，利用AAS证明△BRP≌△DPE，得出BP=DE=5，BR=DP，再根据两点间的距离公式求得BD=3

5

，则BR=PD=3

5

-5，由BR=DP得出方程m-2=3

5

-5，解方程求出m的值，得到点R坐标，由此得出结论：在（2）条件下，存在点R，能够使得PE=PR．

解答：解：（1）将点A（

13

2

，-5）代入y=a（x-5）²-6，
得-5=a（

13

2

-5）²-6，解得a=

4

9

，
所以抛物线解析式为：y=

4

9

（x-5）²-6，即y=

4

9

x²-

40

9

x+

46

9

；
设直线CD解析式为y=kx+b，
∵D（5，-6），C（0，4），
∴

5k+b=-6 b=4

，解得

k=-2 b=4

，
∴直线CD解析式为y=-2x+4；

（2）延长DE交x轴于点M，作DH⊥x轴于点H．
∵∠EDB=∠CBO，∠CBO=∠MBD，
∴∠EDB=∠MBD，
∴MB=MD．
设点M的坐标为（t，0），
y=-2x+4，当y=0时，x=2，
∴B（2，0），
∴MB=t-2．
在Rt△DHM中，MD=

(t-5)2+36

，
∴t-2=

(t-5)2+36

，
解得：t=

19

2

，
∴M（

19

2

，0）．
设DM解析式为：y=mx+n，
则

5m+n=-6 19 2 m+n=0

，解得

m= 4 3 n=- 38 3

，
∴y=

4

3

x-

38

3

．
点E为直线DM和抛物线的交点，
由

y= 4 3 x- 38 3 y= 4 9 x2- 40 9 x+ 46 9

，解得：

x=5 y=-6

或

x=8 y=-2

，
∴E（8，-2）；

（3）存在，点R坐标为（3

5

-3，0）．理由如下：
设R（m，0）．
∵D（5，-6），E（8，-2），
∴DE=

(8-5)2+(-2+6)2

=5．
∵∠EPR=∠CBO=∠MBD，
又∠EPR+∠EPD=∠MBD+∠BRP，
∴∠BRP=∠EPD，
又∠MBD=∠BDE，PR=PE，
∴△BRP≌△DPE，
∴BP=DE=5，BR=DP．
∵B（2，0），D（5，-6），
∴BD=

(5-2)2+(-6-0)2

=3

5

，
∴PD=BD-BP=3

5

-5，
∴BR=PD=3

5

-5，
∴m-2=3

5

-5，
∴m=3

5

-3，
∴点R坐标为（3

5

-3，0）．          

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两函数交点坐标的求法，旋转的性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、方程思想是解题的关键．