题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点,其中B(4,0)、C(﹣2,0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称,以G为圆心,GD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时,求G点的横坐标;
(3)过D点作直线DH∥AC交AB于H,当△DHF的面积最大时,在抛物线和直线AB上分别取M、N两点,并使D、H、M、N四点组成平行四边形,请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.
【答案】
(1)
【解答】解:∵B,C两点在抛物线y=ax2+bx+2上,
∴,
解得:.
∴所求的抛物线为:y=.
(2)
抛物线y=,则点A的坐标为(0,2),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,
解得:.
∴直线AB的解析式为y=x+2,
设F点的坐标为(x,x+2),则D点的坐标为(x,),
∵G点与D点关于F点对称,
∴G点的坐标为(x,),
若以G为圆心,GD为半径作圆,使得⊙G与其中一条坐标轴相切,
①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE,
即,
解得:x=,x=4(舍去);
②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE,
即
解得:x=2,x=0(舍去).
综上,以G为圆心,GD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时,G点的横坐标为2或.
(3)
M点的横坐标为2±,N点的横坐标为±.
【解析】(1)根据B,C两点在抛物线y=ax2+bx+2上,代入抛物线得到方程组,求出a,b的值,即可解答;
(2)先求出直线AB的解析式为y=﹣x+2,设F点的坐标为(x,-x+2),则D点的坐标为(x,),根据G点与D点关于F点对称,所以G点的坐标为(x,),若以G为圆心,GD为半径作圆,使得⊙G与其中一条坐标轴相切,分两种情况解答:①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE;②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE;
(3)M点的横坐标为2±2,N点的横坐标为±2.