题目内容

已知
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
x+y+z
=1，求证：x、y、z中至少有一个为1．
分析：由已知条件
1
x+y+z
=1，得出x+y+z=1，进而得出（x+y+z）（
1
x
+
1
y
+
1
z
）=1，将式子进行变形整理，得出（x+z）（x+y）（y+z）=0，从而得出原命题正确．
解答：证明：∵
1
x+y+z
=1
∴x+y+z=1
∵
1
x
+
1
y
+
1
z
=1
∴（x+y+z）（
1
x
+
1
y
+
1
z
）=1
∴（x+y+z）（yz+zx+xy）-xyz=0
∴（x+y+z）[y（x+z）+zx（x+y+z）]-xyz=0
∴（x+y+z）y（x+z）+zx（x+z）=0
∴（x+z）（xy+y2+yz+xz）=0
∴（x+z）（x+y）（y+z）=0
∴（1-y）（1-z）（1-x）=0
∴x，y，z 中至少有一个等于1．
点评：此题主要考查了分式的等式证明，由已知得出x+y+z=1，进而得出（1-y）（1-z）（1-x）=0从而解决问题．
练习册系列答案
相关题目
已知
1
x
+
1
y
+
1
z
=0，则x（
1
y
+
1
z
）+y（
1
x
+
1
z
）+z（
1
x
+
1
y
）的值是（　　）
A、1B、-1C、-3D、3
用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则
1
x
+
1
y
+
1
z
的值为（　　）
A、1
B、
2
3
C、
1
2
D、
1
3
已知
1
x
+
1
y
+
1
z
=0，则x(
1
y
+
1
z
)+y(
1
x
+
1
z
)+z(
1
x
+
1
y
)的值是
-3
-3
．
已知
1
x
+
1
y
+
1
z
=0，则x（
1
y
+
1
z
）+y（
1
x
+
1
z
）+z（
1
x
+
1
y
）的值是（　　）
A．1B．-1C．-3D．3

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