题目内容
【题目】（2014河南22题）
（1）问题发现
如图①，
和
均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE；
填空：
①
的度数为__________；
②线段AD、BE之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究
如图②，和均为等腰直角三角形，
，点A、D、E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE．请判断的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图③，在正方形ABCD中，
，若点P满足
，且
，请直接写出点A到BP的距离．
图① 图② 图③
【答案】（1）①60°；②
；（2）①
；②
，详见解析；（3）
或
【解析】
（1）[思维教练]由
和
均为等边三角形可证
，即可知AD与BE之间的数量关系，再由等边三角形和全等三角形的性质求得
的度数；
[自主作答]
（2）[思维教练]由和均为等腰直角三角形可证，即可知，
，再由是等腰直角三角形，可知
，从而证明结论．
[自主作答]
（3）[思维教练]根据题意可作以点D为圆心，PD长为半径的圆，再过点B作圆的切线，分两种情况：第一种情况过点A作
于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点
，易证
，即可得
，由勾股定理可求PB的长，从而求得
的长，再由
是等腰直角三角形可得
，即可求解；第二种情况与第一种情况相同解法可得，运用勾股定理和全等三角形求出
与PB的长即可求解．
解：(1)① 60°；②；
[解法提示]①
和均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；②由①得，
．
(2)①；②．理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，，
，即
，，，
，
．在等腰直角三角形
中，
为斜边
上的高，
，
，
；
(3) 或．
[解法提示]
，
，
是以点
为圆心，以1为半径的
的切线，点
为切点．第一种情况：如解图①，过
点作于点
，作
交
于点，易证，
，
．
，
，，
．
，
，第二种情况：如解图②，可得
．
图① 图②
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【题目】茶叶是安徽省主要经济作物之一，2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/kg，并根据历年的相关数据整理出第x天（1≤x≤15，且x为整数）制茶成本（含采摘和加工）和制茶量的相关信息如下表．假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出（当天收入=日销售额-日制茶成本）
制茶成本（元/kg） | 150+10x |
制茶量（kg） | 40+4x |
（1）求出该茶厂第10天的收入；
（2）设该茶厂第x天的收入为y（元）．试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值及此时x的值．
