题目内容

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8),且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.

(1)求此抛物线的表达式;

(2)连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,B不重合),过点E作EFAC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;

(3)在(2)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并判断S取得最大值时BCE的形状;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2x+8;(2)﹣m2+4m,(3)△BCE为等腰三角形.理由见解析.

【解析】

(1) 先解一元二次方程, 得到线段0B、 OC的长, 也就得到了点B、 C两点坐标, 根据抛物线的对称性可得点A坐标A、 B、 C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式;

(2)易得=-,只需利用平行得到三角形相似, 求得EF, 进而利用相等角的正弦值求得ΔBEFBE边上的高;

(3) 利用二次函数求出最值, 进而求得点E坐标. OC垂直平分BE, 那么EC=BC, 所求的三角形是等腰三角形.

(1)∵点B的坐标为(2,0),抛物线的对称轴是直线x=﹣2,

由抛物线的对称性可得点A的坐标为(﹣6,0),

点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,

c=8,将A(﹣6,0)、B(2,0)代入表达式,得

解得

所求抛物线的表达式为y=﹣x2x+8;

(2)依题意,AE=m,则BE=8﹣m,

∵OA=6,OC=8,

∴AC=10,

∵EF∥AC,

∴△BEF∽△BAC,

=  即=

∴EF=

过点F作FGAB,垂足为G,

则sin∠FEG=sin∠CAB=

=

∴FG==8﹣m,

∴S=SBCE﹣SBFE=(8﹣m)×8﹣(8﹣m)(8﹣m)=(8﹣m)(8﹣8+m)=(8﹣m)m=﹣m2+4m,

(3)由S=﹣m2+4m=﹣(m﹣4)2+8可知,S存在最大值,

当m=4时,S最大值=8,

∵m=4,

∴AE=4,

∵OA=6,

∴OE=2,

点E的坐标为(﹣2,0),

∵B(2,0),C(0,8),

∴△BCE为等腰三角形.

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