题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8),且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(3)在(2)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并判断S取得最大值时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣
x+8;(2)﹣
m2+4m,(3)△BCE为等腰三角形.理由见解析.
【解析】
(1) 先解一元二次方程, 得到线段0B、 OC的长, 也就得到了点B、 C两点坐标, 根据抛物线的对称性可得点A坐标,把A、 B、 C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式;
(2)易得=
-
,只需利用平行得到三角形相似, 求得EF长, 进而利用相等角的正弦值求得ΔBEF中BE边上的高;
(3) 利用二次函数求出最值, 进而求得点E坐标. OC垂直平分BE, 那么EC=BC, 所求的三角形是等腰三角形.
(1)∵点B的坐标为(2,0),抛物线的对称轴是直线x=﹣2,
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(﹣6,0),
∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,
∴c=8,将A(﹣6,0)、B(2,0)代入表达式,得,
解得,
∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣
x+8;
(2)依题意,AE=m,则BE=8﹣m,
∵OA=6,OC=8,
∴AC=10,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC,
∴=
即
=
,
∴EF=,
过点F作FG⊥AB,垂足为G,
则sin∠FEG=sin∠CAB=
∴=
∴FG==8﹣m,
∴S=S△BCE﹣S△BFE=(8﹣m)×8﹣
(8﹣m)(8﹣m)=
(8﹣m)(8﹣8+m)=
(8﹣m)m=﹣
m2+4m,
(3)由S=﹣m2+4m=﹣
(m﹣4)2+8可知,S存在最大值,
当m=4时,S最大值=8,
∵m=4,
∴AE=4,
∵OA=6,
∴OE=2,
∴点E的坐标为(﹣2,0),
∵B(2,0),C(0,8),
∴△BCE为等腰三角形.
