题目内容
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D.(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.
分析:(1)已知函数的图象经过A,B,C三点,把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组,就可以求出函数的解析式;
(2)E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,这两个三角形都是直角三角形,因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论.△AOC的三边已知,△BDE中,BD=m-2,而DE=-m.根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出m的值;
(3)四边形ABEF是平行四边形,因而EF=AB,且这两个点的纵坐标相同,E点的纵坐标是m,把x=m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标,则EF的长就可以求出.根据EF=AB就可以得到一个关于m的方程,解方程就可以求出m的值.若m的值存在,就可以求出四边形的面积.
(2)E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,这两个三角形都是直角三角形,因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论.△AOC的三边已知,△BDE中,BD=m-2,而DE=-m.根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出m的值;
(3)四边形ABEF是平行四边形,因而EF=AB,且这两个点的纵坐标相同,E点的纵坐标是m,把x=m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标,则EF的长就可以求出.根据EF=AB就可以得到一个关于m的方程,解方程就可以求出m的值.若m的值存在,就可以求出四边形的面积.
解答:解:(1)根据题意,得
解得a=-1,b=3,c=-2.
∴y=-x2+3x-2.(2分)
(2)当△EDB∽△AOC时,
得
=
或
=
,
∵AO=1,CO=2,BD=m-2,
当
=
时,得
=
,
∴ED=
,
∵点E在第四象限,
∴E1(m,
).(4分)
当
=
时,得
=
,
∴ED=2m-4,
∵点E在第四象限,
∴E2(m,4-2m).(6分)
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,
当点E1的坐标为(m,
)时,点F1的坐标为(m-1,
),
∵点F1在抛物线的图象上,
∴
=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴2m2-11m+14=0,
∴(2m-7)(m-2)=0,
∴m=
,m=2(舍去),
∴F1(
,-
),
∴S平行四边形ABEF=1×
=
.(9分)
当点E2的坐标为(m,4-2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-2m),
∵点F2在抛物线的图象上,
∴4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴m2-7m+10=0,
∴(m-2)(m-5)=0,
∴m=2(舍去),m=5,
∴F2(4,-6),
∴S平行四边形ABEF=1×6=6.(12分)
注:各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分.
|
解得a=-1,b=3,c=-2.
∴y=-x2+3x-2.(2分)
(2)当△EDB∽△AOC时,
得
AO |
ED |
CO |
BD |
AO |
BD |
CO |
ED |
∵AO=1,CO=2,BD=m-2,
当
AO |
ED |
CO |
BD |
1 |
ED |
2 |
m-2 |
∴ED=
m-2 |
2 |
∵点E在第四象限,
∴E1(m,
2-m |
2 |
当
AO |
BD |
CO |
ED |
1 |
m-2 |
2 |
ED |
∴ED=2m-4,
∵点E在第四象限,
∴E2(m,4-2m).(6分)
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,
当点E1的坐标为(m,
2-m |
2 |
2-m |
2 |
∵点F1在抛物线的图象上,
∴
2-m |
2 |
∴2m2-11m+14=0,
∴(2m-7)(m-2)=0,
∴m=
7 |
2 |
∴F1(
5 |
2 |
3 |
4 |
∴S平行四边形ABEF=1×
3 |
4 |
3 |
4 |
当点E2的坐标为(m,4-2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-2m),
∵点F2在抛物线的图象上,
∴4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2,
∴m2-7m+10=0,
∴(m-2)(m-5)=0,
∴m=2(舍去),m=5,
∴F2(4,-6),
∴S平行四边形ABEF=1×6=6.(12分)
注:各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分.
点评:本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,以及平行四边形的判定方法,是一个存在性问题,在中考中经常出现.
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x | -0.1 | -0.2 | -0.3 | -0.4 |
y=ax2+bx+c | -0.58 | -0.12 | 0.38 | 0.92 |