Question

如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN。

求证：（1）M为BD的中点；
（2）。

Answer 1

解：根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA， 又因为∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN， 所以，∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM， 有△BAM∽△CBM，则，即BM2=AM·CM①， 又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB， ∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM， 有△DAM∽△CDN，则，即DM2=AM·CM②， 由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点； （2）如图，延长AM交圆于点P，联结CP，则∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC， 知PC∥BD，故③， 又∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB， 所以，∠ABC=∠MCP， 而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM④， 由式③、④得。