题目内容

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）直线AN交y轴于点F，P是抛物线的对称轴x=1上动点，H是X轴上一动点，请探索：是否存在这样的P、H，使四边形CFHP的周长最短？若存在，请求出四边形CFHP的最短周长和点P、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是∠MDB的角平分线上动点，点R是线段DB上的动点，Q、R在何位置时，BQ+QR的值最小．请直接写出BQ+QR的最小值和Q、R的坐标．

分析：（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可，再利用图象与坐标轴交点求法得出即可；
（2）利用轴对称得出F的对称点G，连接GN即可得出P点位置，利用轴对称的性质得出CF+FH+PH+PC=CF+GN进而得出答案即可；
（3）首先求出BC=DC的长度，再利用轴对称性质得出BQ+QR的最小值为3

，进而得出Q，R的坐标．

解答：

解：（1）依题意设所求抛物线的解析式为：
y=k（x-1）²+4，
因为抛物线经过点N（2，3），
∴3=k（2-1）²+4，
解得：k=-1，
∴所求抛物线为y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
所以，A，B，C三点的坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）解：如图1，连接AN交y轴于F点，
可求得直线AN的解析式为：y=x+1，
即点F的坐标为：F（0，1）
过点F作关于x轴的对称点G，即G（0，-1）
连接CN，再连接NG交对称轴于P，H，
∴CF+FH+PH+PC=CF+GN=2+2

即四边形CFHP的最短周长为2+2

此时直线GN的解析式为：y=2x-1
所以存在点H的坐标为H(

，0)，点P的坐标为P（1，1）；

（3）如图2，
作∠MDB的平分线DG，连接BC，交DG于点Q，点C关于DG的对称点R落在x轴上，
此时QB+QR=BC，