题目内容
【题目】如图在RtΔABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为1.5,ED=2,求AB的长.
(3)在(2)的条件下,求△ADO的面积.
【答案】(1)答案见解析;(2)5;(3)1.08.
【解析】
(1)连OD,首先证明△EOC≌△EOD,则可以证得∠EDO=∠ECO=90°,即可证得;
(2)证明OE是△ABC的中位线,在直角△OEC中,利用勾股定理求得OE的长,然后利用三角形中位线定理求得AB的长;
(3)连接CD,则CD是直角△ABC的斜边AB上的高,根据三角形的面积公式即可求得CD的长,则在直角△ACD中,利用勾股定理求得AD的长,则可求出△ACD的面积,进而求得△ADO的面积.
(1)连OD.
∵OE∥AB,∴∠EOC=∠A,∠EOD=∠ODA.
又∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠EOC=∠EOD.
在△EOC和△EOD中,∵,∴△EOC≌△EOD(SAS),∴∠EDO=∠ECO.
又∵∠ECO=90°,∴∠EDO=90°即ED⊥DO 而点D在⊙O上,∴ED为⊙O的切线.
(2)∵OE∥AB,OA=OC,∴AB=2OE.
在△OCE中,OE= ,∴AB=2OE=5;
(3)连结CD.
∵AC=2OA=3,AB=5,∴BC===4.
∵AC是⊙O的直径,∴∠CDA=90°,∴CD⊥AB.
在Rt△ABC中,CD⊥AB,∴CDAB=ACBC,∴CD=2.4.
在Rt△ACD中,AD===1.8,∴S△ACD=CDAD=2.16,∴S△ADO=S△ACD=1.08.
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