题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称P′为点P关于⊙C的反称点,如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(2,1),N(,0),T(1,)关于⊙O的反称点是否存在?若存在,求其坐标;
②点P在直线y=﹣x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A,B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
【答案】(1)、①、点M关于⊙O的反称点不存在;点N关于⊙O的反称点为N′(,0);点T关于⊙O的反称点为T′(0,0);②、0<x<2;(2)、2≤x≤8
【解析】
试题分析:(1)、①、根据反称点的定义求出反称点;②、OP≤2r=2,OP2≤4,设P(x,﹣x+2),从而得出2x2﹣4x≤0,求出x的取值范围;(2)、首先求出点A和点B的坐标,然后求出AB和OB的长度,设C(x,0),然后分当C在OA上和当C在A点右侧时两种情况分别进行计算得出答案.
试题解析:(1)、当⊙O的半径为1时.
①点M(2,1)关于⊙O的反称点不存在; N(,0)关于⊙O的反称点存在,反称点N′(,0);
T(1,)关于⊙O的反称点存在,反称点T′(0,0);
②∵OP≤2r=2,OP2≤4,设P(x,﹣x+2), ∴OP2=x2+(﹣x+2)2=2x2﹣4x+4≤4, ∴2x2﹣4x≤0,
x(x﹣2)≤0, ∴0≤x≤2.
当x=2时,P(2,0),P′(0,0)不符合题意;
当x=0时,P(0,2),P′(0,0)不符合题意;
∴0<x<2
(2)、∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A,B,
∴A(6,0),B(0,2),∴,∴. ∴∠OBA=60°,∠OAB=30°.
设C(x,0).
①当C在OA上时,作CH⊥AB于H,则CH≤CP≤2r=2, 所以AC≤4,
C点横坐标x≥2(当x=2时,C点坐标(2,0),H点的反称点H′(2,0)在圆的内部);
②当C在A点右侧时,C到线段AB的距离为AC长,AC最大值为2, 所以C点横坐标x≤8.
综上所述,圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8.