题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P,满足CP+CP=2r,则称P为点P关于C的反称点,如图为点P及其关于C的反称点P的示意图.特别地,当点P与圆心C重合时,规定CP=0.

(1)当O的半径为1时.

分别判断点M(2,1),N(,0),T(1,)关于O的反称点是否存在?若存在,求其坐标;

点P在直线y=x+2上,若点P关于O的反称点P存在,且点P不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;

(2)C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A,B,若线段AB上存在点P,使得点P关于C的反称点PC的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.

【答案】(1)、、点M关于O的反称点不存在;点N关于O的反称点为N,0);点T关于O的反称点为T(0,0);、0<x<2;(2)、2x8

【解析】

试题分析:(1)、、根据反称点的定义求出反称点;、OP2r=2,OP24,设P(x,x+2),从而得出2x24x0,求出x的取值范围;(2)、首先求出点A和点B的坐标,然后求出AB和OB的长度,设C(x,0),然后分当C在OA上和当C在A点右侧时两种情况分别进行计算得出答案.

试题解析:(1)、当O的半径为1时.

点M(2,1)关于O的反称点不存在; N(,0)关于O的反称点存在,反称点N,0);

T(1,)关于O的反称点存在,反称点T(0,0);

②∵OP2r=2,OP24,设P(x,x+2), OP2=x2+(x+2)2=2x24x+44, 2x24x0,

x(x2)0, 0x2.

当x=2时,P(2,0),P(0,0)不符合题意;

当x=0时,P(0,2),P(0,0)不符合题意;

0<x<2

(2)、直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A,B,

A(6,0),B(0,2), ∴∠OBA=60°OAB=30°

设C(x,0).

当C在OA上时,作CHAB于H,则CHCP2r=2, 所以AC4,

C点横坐标x2(当x=2时,C点坐标(2,0),H点的反称点H(2,0)在圆的内部);

当C在A点右侧时,C到线段AB的距离为AC长,AC最大值为2, 所以C点横坐标x8.

综上所述,圆心C的横坐标的取值范围是2x8.

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