题目内容
如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O,经过A、O的圆分别与AB、AD相交于E、F,EF与AO相交于G,AD=16.
(1)图中有哪些三角形与△AGF相似(只写出结论,不必证明);
(2)试证明AE+AF是一个定值,并指出这个定值为多少?
(3)若AG:GO=3:5,且AF>AE,求DH的长.
解:(1)与△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO;
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OD,∠BAO=∠DAO=45°,
在△AEO与△DFO中
,
∴△AEO≌△DFO(AAS),
∴AE=DF,
∴AE+AF=AD=16;
(3)∵四边形ABCD是正方形,
∴△OAD为等腰直角三角形,
∴OA=OD=
AD=8
,
∵AG:GO=3:5,
∴AG=3
,GO=5
,
∵△EGO∽△AEO,
∴OE:OA=OG:OE,即OE2=OA•OG=8
•5
=80,
∴OE=4
,
∵∠EAO=∠EFO=45°,∠EOF=90°,
∴△OEF为等腰直角三角形,
∴EF=
OE=4
,
∵△AGF∽△EGO,
∴AG:EG=FG:OG,即3
:EG=(4
-EG):5
,
解得EG=
,EG=3
(舍去),
∴AF:OE=AG:EG,即AF:4
=3
:
,
∴AF=12,
∴DF=AD-AF=4,
∵DF•DA=DH•DO,
∴DH=
=4
.
分析:(1)根据正方形的性质得到∠EAO=∠FAG=∠FDO=45°,根据同弧所对的圆周角相等得到∠OEG=∠OAF=45°,∠AOE=∠AFO,根据圆周角定理由∠EAF=90°得到EF为⊙O的直径,则∠EOF=90°,而∠AOD=90°,根据等角的余角相等得到∠AOE=∠DOF,然后利用三角形相似的判定可得到△AGF∽△EGO∽△AEO∽△DFO;
(2)首先可证△AEO≌△DFO,即可得AE=DF,继而求得AE+AF的值;
(3)根据正方形的性质可判断△OAD为等腰直角三角形,则OA=OD=
AD=8
,所以AG=3
,GO=5
,再由△EGO∽△AEO,利用相似比可计算出OE=4
,
再判断△OEF为等腰直角三角形,则EF=
OE=4
,接着由△AGF∽△EGO,利用相似比可先计算EG=
,再计算出AF=12,则DF=AD-AF=4,
然后根据切割线定理计算DH.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质:有两组角对应相等的两个三角形相似;相似三角形对应角相等,对应边的比相等.也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理和正方形的性质.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OD,∠BAO=∠DAO=45°,
在△AEO与△DFO中

∴△AEO≌△DFO(AAS),
∴AE=DF,
∴AE+AF=AD=16;
(3)∵四边形ABCD是正方形,
∴△OAD为等腰直角三角形,
∴OA=OD=


∵AG:GO=3:5,
∴AG=3


∵△EGO∽△AEO,
∴OE:OA=OG:OE,即OE2=OA•OG=8


∴OE=4

∵∠EAO=∠EFO=45°,∠EOF=90°,
∴△OEF为等腰直角三角形,
∴EF=


∵△AGF∽△EGO,
∴AG:EG=FG:OG,即3



解得EG=


∴AF:OE=AG:EG,即AF:4



∴AF=12,
∴DF=AD-AF=4,
∵DF•DA=DH•DO,
∴DH=


分析:(1)根据正方形的性质得到∠EAO=∠FAG=∠FDO=45°,根据同弧所对的圆周角相等得到∠OEG=∠OAF=45°,∠AOE=∠AFO,根据圆周角定理由∠EAF=90°得到EF为⊙O的直径,则∠EOF=90°,而∠AOD=90°,根据等角的余角相等得到∠AOE=∠DOF,然后利用三角形相似的判定可得到△AGF∽△EGO∽△AEO∽△DFO;
(2)首先可证△AEO≌△DFO,即可得AE=DF,继而求得AE+AF的值;
(3)根据正方形的性质可判断△OAD为等腰直角三角形,则OA=OD=





再判断△OEF为等腰直角三角形,则EF=



然后根据切割线定理计算DH.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质:有两组角对应相等的两个三角形相似;相似三角形对应角相等,对应边的比相等.也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理和正方形的性质.

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