Question

已知关于x的两个方程ax²+bx+c=0①，与ax²+（b-a）x+c-b=0②，它们的系数满足a＞b＞c，方程①有两个异号实数根．
（1）证明：方程②一定有两个不相等的实数根；
（2）若1是方程①的一个根，方程②的两个根分别为x₁、x₂，令k=

c

a

，问：是否存在实数k，使

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=9？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明现由．

Answer 1

分析：（1）表示出根的判别式△，再根据方程①有两个异号实数根求出a、c异号，从而确定出△＞0，然后根据当△＞0，方程有两个不相等的实数根证明即可；
（2）利用根与系数的关系表示出x₁+x₂、x₁x₂，再根据1是方程①的一个根用a、c表示出b，然后把x₁²x₂+x₁x₂²分解因式并整理成关于a、c的式子，再转化为k的代数式，然后解方程求出k的值，再根据方程①有两个异号实数根判断出k的取值范围，从而得解．

解答：（1）证明：△=（b-a）²-4a（c-b）=（a+b）²-4ac，
∵方程①有两个异号实数根，
∴a≠0，且

c

a

＜0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（a+b）²≥0，
∴△=（a+b）²-4ac＞0，
∴方程②一定有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x₁、x₂是方程②的两根，
∴x₁+x₂=-

b-a

a

=

a-b

a

，x₁x₂=

c-b

a

，
∵1是方程①的一个根，
∴a+b+c=0，
∴-b=a+c，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂）=

c-b

a

•

a-b

a

=

c+a+c

a

•

a+a+c

a

=（1+

2c

a

）（2+

c

a

），
∵k=

c

a

，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=（1+2k）（2+k）=2k²+5k+2=9，
整理得，2k²+5k-7=0，
解得k₁=-

7

2

，k₂=1，
∵方程①有两个异号实数根，
∴a≠0，k=

c

a

＜0，
∴k=-

7

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．