题目内容
【题目】如图,△ABC是等边三角形,AB=2cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,运动速度均为1cm/s,点P从点A出发,沿A→B运动,到点B停止,点Q从点C出发,沿C→A运动,到点A停止,连接BQ、CP相交于点D,设点P的运动时间为x(s).
(1)AP= (用含x的式子表示);
(2)求证:△ACP≌△CBQ;
(3)求∠PDB的度数;
(4)当CP⊥AB时,直接写出x的值.
【答案】(1)x;(2)见解析(3)∠PDB=60°.(4)x=1.
【解析】
试题分析:(1)根据点P的运动时间为x(s),运动速度均为1cm/s,得到AP=x;
(2)利用SAS证明△ACP≌△CBQ;
(3)由△ACP≌△CBQ,得到∠ACP=∠QCB,利用外角的性质∠PDB=∠DBC+∠DCB,即可解答;
(4)当CP⊥AB时,则点P为AB的中点,所以AP=AB=1cm,则x=1.
解:(1)∵点P的运动时间为x(s),运动速度均为1cm/s,
∴AP=x,
故答案为:x.
(2)∵动点P、Q分别从点A、C同时出发,运动速度均为1cm/s,点P从点A出发,沿A→B运动,到点B停止,点Q从点C出发,沿C→A运动,到点A停止,
∴AP=CQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=CB,∠A=∠ACB=60°,
在△ACP和△CBQ中,
,
∴△ACP≌△CBQ.
(3)∵△ACP≌△CBQ,
∴∠ACP=∠QCB,
∵∠PDB=∠DBC+∠DCB,
∴∠PDB=∠DCB+∠ACP=∠ACB=60°.
(4)当CP⊥AB时,则点P为AB的中点,
∴AP=AB=1cm,
∴x=1.
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