Question

将抛物线y₁=2x²向右平移2个单位，得到如图抛物线y₂的图象，P是抛物线y₂对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=

1或3或

5- 5

2

或

5+ 5

2

．

Answer 1

分析：根据向右平移，横坐标减表示出抛物线y₂的函数解析式，然后表示出点A、B的坐标，再表示出AB的长度与AP的长度，然后根据等腰直角三角形的两直角边相等列出方程求解即可．

解答：解：∵抛物线y₁=2x²向右平移2个单位，
∴抛物线y₂的函数解析式为y=2（x-2）²=2x²-8x+8，
∴抛物线y₂的对称轴为直线x=2，
∵直线x=t与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t²-8t+8），
∴AB=|2t²-8t+8-t|=|2t²-9t+8|，
AP=|t-2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|2t²-9t+8|=|t-2|，
∴2t²-9t+8=t-2①或2t²-9t+8=-（t-2）②，
整理①得，t²-5t+5=0，
解得t₁=

5- 5

2

，t₂=

5+ 5

2

，
整理②得，t²-4t+3=0，
解得t₁=1，t₂=3，
综上所述，满足条件的t值为：1或3或

5- 5

2

或

5+ 5

2

．
故答案为：1或3或

5- 5

2

或

5+ 5

2

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的性质，根据抛物线与直线的解析式表示出点AB、AP或（BP）的长，然后根据等腰直角三角形的性质列出方程是解题的关键．