题目内容

如图一,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
①猜想如图一中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;并证明你的结论。
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度
,得到如图2、如图三情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图二证明你的判断.
(1)解:BG=DE  BG ⊥DE      
证明:∵四边形ABCD 和四边形CEFD 为正方形      
∴BC=CD  CG=CE   ∠BCG= ∠DCE=90°     
在△BCG 和△DCE 中      
=90°
BCG≌△DCE(SAS)    
∴BG=DE   ∠CBG=∠CDE    
延长BG交DE于M
∵∠BGC=∠DGM(对顶角相等)
∴∠DMG=180°-∠CDE-∠DGM            
=180°-∠CBG-∠BGC            
=90°   
∴BG⊥DE(垂直的定义)      
(2)解:BG=DE  BG⊥DE      
∵四边形ABCD和四边形CEFD为正方形      
∴BC=CD  CG=CE  ∠BCD=∠GCE=90°      
∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG      
∴∠BCG=∠DCE               
在△BCG和△DCE中      
=90°
BCG≌△DCE(SAS)
∴BG=DE   ∠CBG=∠CDE
∵∠BHC=∠DHO(对顶角相等)
∴∠DOH=180°-∠CDE-∠DHO            
=180°-∠CBG-∠BHC            
=90°      
∴BG⊥DE(垂直的定义)
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