题目内容
【题目】已知,在平面直角从标系中,A点坐标为(0,4),B点坐标为(2,0),C(m,6)为反比例函数 图象上一点.将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处.
(1)求m的值;
(2)若O′落在OC上,连接AA′交OC与D点.①求证:四边形ACA′O′为平行四边形; ②求CD的长度;
(3)直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标.
【答案】
(1)
解:∵C(m,6)为反比例函数 图象上一点,
∴m= = ;
(2)
如图1.
∵点C的坐标为( ,6),∴CH= ,OH=6,∴tan∠COH= ,AC=
∴∠COH=30°,OA=AC,
∴∠BOO′=60°,∠ACO=∠AOC=30°.
∵BO′=BO,
∴∠BO′O=∠BOO′=60°.
∵∠A′O′B=∠AOB=90°,
∴∠CO′A′=30°,
∴∠ACO=∠CO′A′,
∴AC∥O′A′.
又∵O′A′=OA=AC,
∴四边形ACA′O′为平行四边形;
②∵BO′=BO,∠BOO′=60°,
∴△BOB′是等边三角形,
∴OO′=OB=2.
∵∠CHO=90°,CH= ,OH=6,∴OC= ,∴CO′=OC﹣OO′= ﹣2.
∵四边形ACA′O′为平行四边形,
∴CD=O′D= CO′= ﹣1;
(3)
解:当AO′最短时A′点的坐标(2+ , ),当AO′最长时A′点的坐标(2﹣ ,﹣ ).
提示:①当点O′在线段AB上时,AO′最短,
过点O′作O′N⊥x轴于N,过点A′作A′M⊥O′N于M,如图2.
∵O′N∥OA,
∴△BNO′∽△BOA,
∴ ,
∴ ,
∴BN= ,O′N= .
∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°,
∴∠MA′O′=∠NO′B,
∴△A′MO′∽△O′NB,
∴ ,
∴A′M= ,O′M= ,
∴A′(2﹣ + , + )即(2+ , );
②当点O′在线段AB延长线上时,AO′最长,
过点O′作O′N⊥x轴于N,过点A′作A′M⊥O′N于M,如图3.’
同理可得:A′(2﹣ ,﹣ )
【解析】(1)只需把点C的坐标代入反比例函数的解析式,就可解决问题;(2)①过点C作CH⊥y轴与H,如图1,易证AC=OA=O′A′,要证四边形ACA′O′为平行四边形,只需证AC∥O′A′,只需证∠ACO=∠A′O′C即可;②由平行四边形ACA′O′可得CD= CO′,要求CD,只需求CO′,只需求出OC及OO′即可;(3)根据两点之间线段最短可知:当点O′在线段AB上时AO′最短(如图2),当点O′在线段AB的延长线上时AO′最长(如图3);过点O′作O′N⊥x轴于N,过点A′作A′M⊥O′N于M,易证△BNO′∽△BOA,△A′MO′∽△O′NB,然后只需运用相似三角形的性质即可解决问题.