Question

如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC=BC，CD=CE，M、N分别为AE、BD的中点．
（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系：
（2）若△CDE绕C旋转任意角度，其它条件不变，则（1）的结论是否仍成立？试证明．

Answer 1

分析：（1）证△ACE≌△BCD，推出AE=BD，根据直角三角形斜边上中线得出CM=CN，推出∠MAC=∠MCA，∠NDC=∠NCD，即可得出答案；
（2）证△ACE≌△BCD，推出AE=BD，证△ECM≌△NDC，即可得出答案．

解答：解：（1）CM=CN，MC⊥CN，
理由是：∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∵∠ACE=∠BCD=90°，M为AE中点，N为BD中点，
∴CM=AM=ME=

1

2

AE，CN=DN=BN=

1

2

BD，
∴CM=CN，∠MAC=∠MCA，∠NDC=∠NCD，
∵∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∴∠MCA+∠NCD=90°，
∴∠MCN=180°-90°=90°，
即MC⊥CN．

（2）成立，
证明：∵∠ACE=∠BCD=90°，∠ECB=∠ECB，
∴∠ECA=∠DCB，
∴在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵M、N分别为AE、BD中点，
∴EM=DN，
在△MEC和△NDC中

ME=DN ∠MEC=∠NDC EC=DC

∴△MEC≌△NDC，
∴CM=CN，∠ECM=∠NCD，
∴∠MCN=∠ECM+∠ECN=∠NCD+∠ECN=∠ECD=90°，
∴CM⊥CN．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生的推理能力．