Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边作等腰三角形△ABC，AD=CD=10，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE．
（1）求证：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．则当DP为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时△PBC的周长．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出EF∥BC，再由点F是AC的中点可得出点E是斜边AB的中点，继而利用直角三角形的斜边中线的性质可得出所证得结论．
（2）根据轴对称求最短路径的知识可得，点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置，结合图形及（1）可得点P的位置即是点E的位置，从而可求出此时△PBC的周长．

解答：（1）证明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质），
∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，
∵AD=CD=10cm，DE⊥AC，
∴F是AC的中点，
∴EF=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5，AF=

1

2

AC=

1

2

×12=6，
∴DF=

AD2-AF2

=

102-62

=8，
∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm，
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC=

1

2

AB=

15

2

，即DP=DE=12.5cm时，△PBC的周长最小，
∴△PBC的最小周长=PB+PC+BC=15+9=24cm．

点评：本题考查利用轴对称求最短路径的知识，与实际结合得比较紧密，有一定的综合性，解答本题（2）的关键是利用轴对称的性质确定点P的位置．