Question

试求出所有满足下列条件的正整数a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整数倍．

Answer 1

分析：首先由abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整数倍得出，设k=

abcd-1

(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

，确定k的取值范围，
再分别确定a，b，c，d的取值．

解答：解：设k=

abcd-1

(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

，则由题意，k为正整数，
∴a，b，c，d都是奇数或都是偶数，
且1＜k＜

a

a-1

×

b

b-1

×

c

c-1

×

d

d-1

，
又易证：对于任意的正整数m，n且m＞1，有

m+n

m-1+n

＜

m

m-1

，
∵1＜a＜b＜c＜d，
∴当a≥5时，

a

a-1

≤

5

4

，

b

b-1

≤

6

5

，

c

c-1

≤

7

6

，

d

d-1

≤

8

7

，
∴1＜k＜

5

4

×

6

5

×

7

6

×

8

7

=2，
即1＜k＜2，
这是不可能的，∴1＜a≤4，
当a=4时，则b，c，d都是偶数，从而k为奇数，
∴b≥6，c≥8，d≥10，k≥3，
∴3≤k＜

4

3

×

6

5

×

8

7

×

10

9

=

128

63

＜3，
即3≤k＜3，这是不可能的．
当a=3时，则b，c，d都是奇数，
∴b≥5，c≥7，d≥9，
∴1≤k＜

3

2

×

5

4

×

7

6

×

9

8

=

315

218

＜3，
∴k=2，
若b=7，则k=

3×7cd-1

2×6(c-1)(d-1)

，于是分子不是3的倍数，而分母是3的倍数．
从而k不是整数，∴b≠7，
若b≥9，则由于c-1，d-1都不是3的倍数，
∴2=k＜

3

2

×

9

8

×

11

10

×

15

14

=

891

448

＜2，这是不可能的，
∴a=3时，k=2，b=5，
∴2=

15cd-1

8(c-1)(d-1)

cd-16c-16d+17=0，
∴（c-16）（d-16）=239为质数，
∴c-16=1，d-16=239，
∴a=3，b=5，c=17，d=255是符合题意的一组值．
当a=2时，b，c，d为偶数．k为奇数，
∴3≤k＜2×

4

3

×

6

5

×

8

7

=

128

35

＜4，
∴k=3，
∴2bcd-1=3（b-1）（c-1）（d-1），
∴bcd不是3的倍数．
若b≠4，则b≥8，c≥10，d≥14，于是k＜2×

8

7

×

10

9

×

14

3

=

2240

819

＜3，
k=3矛盾，∴a=2时，b=4，k=3，
∴3=

2×4cd-1

3(c-1)(d-1)

，
∴（c-9）（d-9）=71为质数，
∴c-9=1，d-9=71，
∴a=2，b=4，c=10，d=80是符合题意的另一组值．
综上所述，所以满足条件的正整数解a，b，c，d有两组解．

a=3 b=5 c=17 d=255

和

a=2 b=4 c=10 d=80

．

点评：此题主要考查了数的整除性的性质，以及利用参数确定未知数取值范围和质数的定义等有关知识．