题目内容
已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y=
| k | x |
（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标
分析：此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性．
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．
（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．
（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．
解答：
解：（1）如图1，
当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的边长CD=
；∠OCD=∠ODC=45°，
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设小正方形的边长为a，
易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD=
．
解得a=
，所以小正方形边长为
，
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为
或
；
（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
∴2m=2（2-m），解得m=1．
反比例函数的解析式为y=
．
（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
1、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=-
x2+
；
2、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，
3、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在
4、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（-1，3），对应的函数的解析式是y=
x2+
；
5、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，-3）时，对应的函数解析式是y=-
x2+
；
6、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（-4，7）时，对应的抛物线为y=
x2+
；
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．
解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的边长CD=
| 2 |
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设小正方形的边长为a，
易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD=
| 2 |
解得a=
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为
| 2 |
| ||
| 3 |
（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
∴2m=2（2-m），解得m=1．
反比例函数的解析式为y=
| 2 |
| x |
（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
1、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=-
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| 7 |
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| 7 |
2、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，
3、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在
4、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（-1，3），对应的函数的解析式是y=
| 1 |
| 8 |
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| 8 |
5、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，-3）时，对应的函数解析式是y=-
| 7 |
| 40 |
| 223 |
| 40 |
6、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（-4，7）时，对应的抛物线为y=
| 3 |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．
点评：此题是一道新定义题，题比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解．
练习册系列答案
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