题目内容
已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上，BC=kAB （k≠0）．（1）当k=1时，在图（1）中，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．写出线段EF与EB的数量关系，并加以证明；
（2）若k≠1，如图（2），∠BEF=∠ABC，其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由．
分析：（1）在直线m上截取AM=AB，连接M，易证△MAE≌△BAE，则EM=EB，再根据等角对等边即可证明EM=EF，从而求证；
（2）过点E作EM⊥m，可以证明四边形MENA为矩形，进而即可证明△MEF∽△NEB，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得．
（2）过点E作EM⊥m，可以证明四边形MENA为矩形，进而即可证明△MEF∽△NEB，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得．
解答：
解：（1）正确画出图形，
EF=EB．
证明：如图（1），在直线m上截取AM=AB，连接ME．
BC=kAB，k=1，
∴BC=AB，
∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，
∠FAB=90°，
∵AE=AE，
∴△MAE≌△BAE，
∴EM=EB，∠AME=∠ABE，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°，
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA，
∴EM=EF，
∴EF=EB；
（2）EF=
EB．
说明：如图（2），过点E作EM⊥m，
EN⊥AB，垂足为M，N，
∴∠EMF=∠ENA=90°，
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°，
∴四边形MENA为矩形，
∴ME=NA，∠MEN=90°，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠MEF=∠NEB，
∴△MEF∽△NEB，
∴
=
，
∴
=
，
在Rt△ANE和Rt△ABC中，
tan∠BAC=
=
=k，
∴EF=
EB．
解：（1）正确画出图形，EF=EB．
证明：如图（1），在直线m上截取AM=AB，连接ME．
BC=kAB，k=1，
∴BC=AB，
∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，
∠FAB=90°，
∵AE=AE，
∴△MAE≌△BAE，
∴EM=EB，∠AME=∠ABE，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°，
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA，
∴EM=EF，
∴EF=EB；
（2）EF=
| 1 |
| k |
说明：如图（2），过点E作EM⊥m，
EN⊥AB，垂足为M，N，∴∠EMF=∠ENA=90°，
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°，
∴四边形MENA为矩形，
∴ME=NA，∠MEN=90°，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠MEF=∠NEB，
∴△MEF∽△NEB，
∴
| ME |
| EN |
| EF |
| EB |
∴
| AN |
| EN |
| EF |
| EB |
在Rt△ANE和Rt△ABC中，
tan∠BAC=
| EN |
| AN |
| BC |
| AB |
∴EF=
| 1 |
| k |
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
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