题目内容

(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限。

(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;

(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;

(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.解:(1)当∠BAO=45°时,四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°=a

∴P点坐标为(a,a)

(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为(m,0),B点坐标为(0,n)

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°

∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中:

∴△AOB≌和△DEA(AAS)

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

则D点坐标为(m+n,m)

∵点P为BD的中点,且B点坐标为(0,n)

∴P点坐标为(,)∴PF=OF=

∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;

(3)当A,B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上运动时,设PF与PA的夹角为α,

则0°≤α<45°

h=PF=PA·cosα=a·cosα

∵0°≤α<45°∴<cosα≤1    

a<h≤a

 

解析:略

 

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