题目内容
(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限。
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由。
.解:(1)当∠BAO=45°时,四边形OAPB为正方形
OA=OB=a·cos45°=a
∴P点坐标为(a,a)
(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,
设A点坐标为(m,0),B点坐标为(0,n)
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中:
∴△AOB≌和△DEA(AAS)
∴AE=0B=n,DE=OA=m,
则D点坐标为(m+n,m)
∵点P为BD的中点,且B点坐标为(0,n)
∴P点坐标为(,)∴PF=OF=
∴∠POF=45°,
∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)当A,B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上运动时,设PF与PA的夹角为α,
则0°≤α<45°
h=PF=PA·cosα=a·cosα
∵0°≤α<45°∴<cosα≤1
∴a<h≤a
解析:略
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