题目内容
已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿
DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在四边形ABCD中，求
| AB | BC |
分析：（1）根据矩形的判定定理，先证DE=BE，再证∠DOE=90°，则可证．
（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，易求解
的值．
（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，易求解
| AB |
| BC |
解答：
（1）证明：连接OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD，
∴∠DOE=90°，
即∠DAE=90°，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵四边形DEBF是菱形，
∴∠FDB=∠EDB，
又由题意知∠EDB=∠EDA，
由（1）知四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，
则∠ADB=60°，
∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：
，
又BC=AD，
则
=
．
说明：其他解法酌情给分
（1）证明：连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD，
∴∠DOE=90°，
即∠DAE=90°，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵四边形DEBF是菱形，
∴∠FDB=∠EDB，
又由题意知∠EDB=∠EDA，
由（1）知四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，
则∠ADB=60°，
∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：
| 3 |
又BC=AD，
则
| AB |
| BC |
| 3 |
说明：其他解法酌情给分
点评：本题考查矩形的判定定理及相关性质，直角三角形的性质等，难度偏难．
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如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交BD于点G，交DC的延长线于点F，AB=6，BE=3EC，求DF的长．已知在平行四边形ABCD中，向量
=
，
=
，那么向量
等于（ ）
| AB |
| a |
| BC |
| b |
| BD |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、-
| ||||
D、-
|
于E，若BP=PD，
如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=2EB，CF=2FD，连接EF．