Question

如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD：DB=3：2，AC=15，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）要证AC是⊙O的切线，只要证∠BCA=90°即可；
（2）切割线定理得出关于AD，AB的比例式，求出AB的长，再用勾股定理求出求⊙O的直径．

解答：（1）证明：连接OD，CD；
∵切线DE平分AC于E，
∴∠ODE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴在Rt△ADC中DE=CE；
∵OE=OE，OD=OC，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵AC是⊙O的切线；
∴AC•AC=AD•AB=AD•（AD+BD）AD：DB=3：2，
∴AD=3

15

，AB=5

15

，
∴BC=5

6

．

点评：本题考查了切线的判定，切割线定理和勾股定理的综合运用．