题目内容

(2012•大庆)如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°.
(1)求∠ACB的大小;
(2)求点A到直线BC的距离.
分析:(1)根据垂直平分线的性质得出AB=BC,进而得出∠A=∠C=30°即可;
(2)根据BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,得出CD的长,进而求出AE的长度即可.
解答:解:(1)连接BD,
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D,
∴∠BDC=90°,
∵D是AC中点,
∴BD是AC的垂直平分线,
∴AB=BC,
∴∠A=∠C,
∵∠ABC=120°,
∴∠A=∠C=30°,
即∠ACB=30°;

(2)过点A作AE⊥BC于点E,
∵BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,
∴cos30°=
CD
BC
=
CD
3

∴CD=
3
3
2

∵AD=CD,
∴AC=3
3

∵在Rt△AEC中,∠ACE=30°,
∴AE=
1
2
×3
3
=
3
3
2
点评:此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质,根据已知得出CD的长度是解题关键.
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