题目内容
【题目】长为1,宽为a的矩形纸片(),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为_________.
【答案】或.
【解析】根据操作步骤,可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽.所以首先需要判断矩形相邻的两边中,哪一条边是矩形的宽.当<a<1时,矩形的长为1,宽为a,所以第一次操作时所得正方形的边长为a,剩下的矩形相邻的两边分别为1-a,a.由1-a<a可知,第二次操作时所得正方形的边长为1-a,剩下的矩形相邻的两边分别为1-a,a-(1-a)=2a-1.由于(1-a)-(2a-1)=2-3a,所以(1-a)与(2a-1)的大小关系不能确定,需要分情况进行讨论.又因为可以进行三次操作,故分两种情况:①1-a>2a-1;②1-a<2a-1.对于每一种情况,分别求出操作后剩下的矩形的两边,根据剩下的矩形为正方形,列出方程,求出a的值.
解:由题意,可知当<a<1时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为1-a,所以第二次操作时正方形的边长为1-a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a,2a-1.此时,分两种情况:
①如果1-a>2a-1,即a<,那么第三次操作时正方形的边长为2a-1.
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形,
∴矩形的宽等于1-a,
即2a-1=(1-a)-(2a-1),解得a=;
②如果1-a<2a-1,即a>,那么第三次操作时正方形的边长为1-a.
则1-a=(2a-1)-(1-a),解得a=.
故答案为或.
“点睛”本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是分两种情况:①1-a>2a-1;②1-a<2a-1.分别求出操作后剩下的矩形的两边.