题目内容
(2012•枣阳市模拟)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE、OE.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系并证明;
(2)求证:BC2=2CD•OE;
(3)若tanC=
,DE=2,求AD的长.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系并证明;
(2)求证:BC2=2CD•OE;
(3)若tanC=
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2 |
分析:(1)连接OD,BD,由AB是直径,根据圆周角定理的推论得到∠ADB=∠BDC=90°,由E是BC的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=EC,则∠EBD=∠EDB,而∠OBD=∠ODB,
则有∠EDO=∠EBO=90°,根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切;
(2)OE是△ABC的中位线,根据中位线性质得到AC=2OE,根据相似三角形的判定易证得Rt△ABC∽Rt△BDC,则
=
,即BC2=CD•AC,即可得到BC2=2CD•OE;
(3)由DE=BE=EC得到BC=2DE=4,在Rt△BDC中,根据正切的定义得到tanC=
=
,则可设BD=
x,CD=2x,然后利用勾股定理得到(
x)2+(2x)2=42,解得x=±
(负值舍去),则x=
,
在Rt△ABD中,由于∠ABD=∠C,则tan∠ABD=tan∠C,再根据正切的定义得
=
,于是有AD=
BD=
.
则有∠EDO=∠EBO=90°,根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切;
(2)OE是△ABC的中位线,根据中位线性质得到AC=2OE,根据相似三角形的判定易证得Rt△ABC∽Rt△BDC,则
BC |
CD |
AC |
BC |
(3)由DE=BE=EC得到BC=2DE=4,在Rt△BDC中,根据正切的定义得到tanC=
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2 |
BD |
DC |
5 |
5 |
4 |
3 |
4 |
3 |
在Rt△ABD中,由于∠ABD=∠C,则tan∠ABD=tan∠C,再根据正切的定义得
AD |
BD |
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2 |
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2 |
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3 |
解答:(1)解:DE与⊙O相切.理由如下:
连接OD,BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=BE=EC,
∴∠EBD=∠EDB,
又∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠EDO=∠EBO=90°,即OD⊥DE,
∴DE与⊙O相切;
(2)证明:∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠ACB=∠BCD,
∴Rt△ABC∽Rt△BDC,
∴
=
,即BC2=CD•AC,
∴BC2=2CD•OE;
(3)解:在Rt△BDC中,
∵DE=BE=EC,
∴BC=2DE=4,
∵tanC=
=
,
∴设BD=
x,CD=2x,
∵BD2+CD2=BC2,
∴(
x)2+(2x)2=42,
解得x=±
(负值舍去),
∴x=
,
∴BD=
x=
,
在Rt△ABD中,∵∠ABD=∠C,
∴tan∠ABD=tan∠C,
∴
=
,
∴AD=
BD=
.
连接OD,BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=BE=EC,
∴∠EBD=∠EDB,
又∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠EDO=∠EBO=90°,即OD⊥DE,
∴DE与⊙O相切;
(2)证明:∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠ACB=∠BCD,
∴Rt△ABC∽Rt△BDC,
∴
BC |
CD |
AC |
BC |
∴BC2=2CD•OE;
(3)解:在Rt△BDC中,
∵DE=BE=EC,
∴BC=2DE=4,
∵tanC=
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BD |
DC |
∴设BD=
5 |
∵BD2+CD2=BC2,
∴(
5 |
解得x=±
4 |
3 |
∴x=
4 |
3 |
∴BD=
5 |
4 |
3 |
5 |
在Rt△ABD中,∵∠ABD=∠C,
∴tan∠ABD=tan∠C,
∴
AD |
BD |
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2 |
∴AD=
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点评:本题考查了圆的综合题:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;直径所对的圆周角为直角;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;运用相似三角形的判定与性质证明等积式;运用正切的定义以及勾股定理进行几何计算.
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