Question

如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为.

（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则=_______；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是            .
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以AC边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，，根据两点之间线段最短，可得. 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.

Answer 1

解：（1）;     ……………………………2分
（2）.     .……………………………5分

解析考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；三角形中位线定理．
分析：（1）根据三角形的中位线的性质即可求得答案；
（2）根据翻折变换的性质将△ABC翻折5次，再利用梯形的性质求解即可．
解：（1）∵等边△ABC的边长为1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，
∴DE=AC=，EF=AB=，DF=BC=，
∴△DEF的周长为p=++=；
（2）
根据题意与由轴对称的性质可知，D₂F₂+F₂E₃+E₃D₄=p，
∵D₂与D₄分别是A₁B₁与A₂B₂的中点时D₂、F₂、E₃、D₄共线，
∴当D₂与D₄分别是A₁B₁与A₂B₂的中点时，p最小值为：（A₁B₂+A₂B₁）=，
∵p＜AB+AC+BC=3，
∴p的取值范围是：≤p＜3．
故答案为：（1），（2）≤p＜3．