题目内容

【题目】已知:AB是O的直径,弦CDAB于点G,E是直线AB上一动点不与点A、B、G重合,直线DE交O于点F,直线CF交直线AB于点PO的半径为r

1如图1,当点E在直径AB上时,试证明:

2当点E在直径AB或BA的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,1中的结论是否成立?请说明理由

【答案】1证明见解析;2成立,理由见解析

【解析】

试题1如图,连接FO并延长交O于Q,连接DQ由FQ是O直径得到QFD+Q=90°,又由CDAB得到P+C=90°,然后利用已知条件即可得到QFD=P,然后即可证明FOE∽△POF,最后利用相似三角形的性质即可解决问题;

2)(1中的结论成立如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交O于M,连接CM由FM是O直径得到M+CFM=90°,又由CDAB,得到E+D=90°,接着利用已知条件即可证明CFM=E,然后利用已知条件证明POF∽△FOE,最后利用相似三角形的性质即可证明题目的结论

试题解析:1证明:如图1,连接FO并延长交O于Q,连接DQ

FQ是O直径,

∴∠FDQ=90°

∴∠QFD+Q=90°

CDAB,

∴∠P+C=90°

∵∠Q=C,

∴∠QFD=P

∵∠FOE=POF,

∴△FOE∽△POF

OEOP=OF2=r2

2解:1中的结论成立

理由:如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交O于M,连接CM

FM是O直径,

∴∠FCM=90°

∴∠M+CFM=90°

CDAB,

∴∠E+D=90°

∵∠M=D,

∴∠CFM=E

∵∠POF=FOE,

∴△POF∽△FOE

OEOP=OF2=r2

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