题目内容
问题背景 在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
例如：在图1中，当AB=AD时，可证得AB=DC，现在继续探索：
任务要求：
（1）当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC；
（2）当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结
论．
解：（1）在DC上截取DM=BD，连接AM．在△ABD与△AMD中，
，∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠C=∠MAC，
∴AM=MC，
∴MC=AB，
则AB+BD=DC；
（2）AB+BD=AC．
方法一：如图a，在AC上截取AM=AB，连接DM．
在△ABD和△AMD中，
，∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴∠B=∠AMD．
∵∠B=2∠C（已知），∠AMD=∠C+∠MDC（外角定理），
∴∠C=∠MDC（等量代换），
∴DM=MC，则MC=BD，
则AB+BD=AC．
方法二：如图b，延长AB到M，使BM=BD，连接MD．
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．
∵∠ABD=2∠C，
∴∠M=∠C．
又∵∠BAD=∠CAD（角平分线的性质），
AD=AD（公共边）
∴△AMD≌△ACD．
∴AM=AC，
∴AB+BD=AC．
分析：（1）作辅助线“在DC上截取DM=BD，连接AM”构建全等三角形△ABD≌△AMD，然后由全等三角形的对应角相等以及等腰三角形的性质证得∠B=∠AMB；再由已知条件、三角形外角定理求得∠C=∠MAC，所以AM=MC；最后根据等量代换求得MC=AB，即AB+BD=DC；
（2）假设结论AB+BD=AC．方法一：如图a在AC上截取AM=AB，连接DM．先证△ABD≌△AMD，可得∠B=∠AMD．再证DM=MC，则MC=BD；
方法二：如图b延长AB到M，使BM=BD，连接MD．∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．由∠ABD=2∠C，得∠M=∠C．再证△AMD≌△ACD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．解答该题的关键是通过作辅助线构建全等三角形来证明结论的．
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论．
