Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝ADAF，其中正确结论的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据题意可得tan∠DAE的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE＝∠FEC，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.

解：∵四边形ABCD是正方形，E为CD中点，∴CE＝ED＝DC＝AD，

∴tan∠DAE＝，∴∠DAE≠30°，故①错误；

设正方形的边长为4a，则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，

∴，∴，又∠D＝∠C=90°，

∴△ADE∽△ECF，故②正确；

∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，

∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，

∴AE⊥EF．故③正确；

∵△ADE∽△ECF，∴，∴AE2＝ADAF，故④正确.

综上，正确的个数有3个，故选：C.