题目内容

【题目】如图,已知在正方形ABCD中,F是CD边上一点(不和C,D重合),过点D做DG⊥BF交BF延长线于点G.连接AG,交BD于点E,连接EF,交CD于点M.若DG=6,AG=7 ,则EF的长为

【答案】
【解析】解:如图作AH⊥BG于H交BC于T,AN⊥GD于N,取BD的中点O,连接OA、OG.

∴∠BAD=∠BGD=90°,

∴OA=OD=OB=OG,

∴A、B、G、D四点共圆,

∴∠AGB=∠ADB=45°,∠AGD=∠ABD=45°,

∴AH=GH,AN=NG,

∵∠N=∠AHG=∠HGN=90°,

∴四边形ANGH是矩形,∵AH=HG,

∴四边形ANGH是正方形,

∵AG=7

∴AH=HG=GN=AN=7,

易证△AND≌△AHB,

∴DN=BH,

∴GD+GB=GN﹣DN+GH+BH=2GN= AG,

∴6+GB=14,

∴GB=8,BD= =10,

∴BH=1,

∵△BHT∽△AHB,

∴BH2=AHHT,

∴HT=

∴AT=AH+TH=

易证△ABT≌△BCF,

∴AT=BF=

∵△BEF∽△BGD,

=

=

∴EF=

故答案为

通过作AH⊥BGAN⊥GD,取BD的中点O构造全等三角形,即△AND≌△AHB,可证出△BEF∽△BGD,利用相似三角形对应边成比例求出EF长.

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