题目内容
如图，一次函数y1=ax+2与反比例函数y2=| k | x |
（1）求a、k的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，若P为反比例函数图象的位于第一象限部分上的一点，且直线OP分△ADE所得的两部分面积之比为2：7．请求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，请在x轴上找一点Q，使得△PQC的周长最小，并求出点Q的坐标．
分析：（1）将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入一次函数解析式求出a的值，确定出一次函数解析式；
（2）分两种情况考虑：①假设P存在，连接OP，交AE于点F，如图所示，将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，得到AE与OE的长，令一次函数y=0求出x的值，确定出D的坐标，得到OD的长，由OD+OE求出DE的长，进而确定出直角三角形ADE的面积，由三角形OEF的面积与四边形AFOD的面积之比，求出三角形OEF的面积，由OE的长，利用三角形面积公式求出FE的长，确定出F坐标，设直线OF解析式为y=kx，将F坐标代入求出k的值，确定出直线OF解析式，与反比例解析式联立即可求出P的坐标，经检验符合题意；②假设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴同理得到三角形FDC的面积，由OD求出FH的长，代入已知一次函数解析式中，确定出F坐标，得到F在第二象限，不合图形，矛盾，此时P不存在，综上，得到满足题意P的坐标；
（3）由（2）得出P的坐标，找出P关于x轴的对称点P′，连接CP′于x轴交于Q点，求出即可．
（2）分两种情况考虑：①假设P存在，连接OP，交AE于点F，如图所示，将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，得到AE与OE的长，令一次函数y=0求出x的值，确定出D的坐标，得到OD的长，由OD+OE求出DE的长，进而确定出直角三角形ADE的面积，由三角形OEF的面积与四边形AFOD的面积之比，求出三角形OEF的面积，由OE的长，利用三角形面积公式求出FE的长，确定出F坐标，设直线OF解析式为y=kx，将F坐标代入求出k的值，确定出直线OF解析式，与反比例解析式联立即可求出P的坐标，经检验符合题意；②假设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴同理得到三角形FDC的面积，由OD求出FH的长，代入已知一次函数解析式中，确定出F坐标，得到F在第二象限，不合图形，矛盾，此时P不存在，综上，得到满足题意P的坐标；
（3）由（2）得出P的坐标，找出P关于x轴的对称点P′，连接CP′于x轴交于Q点，求出即可．
解答：解：（1）将B（-8，-2）代入反比例函数解析式得：-2=
，解得：k=16，
将B（-8，-2）代入一次函数解析式得：-8a+2=-2，解得：a=
；
（2）分两种情况考虑：
①设P点存在，连接OP交AE于点F，
将A（4，m）代入反比例解析式得：m=4，令一次函数y=
x+2中，y=0，解得：x=-4，
则AE=4，OD=4，DE=OD+OE=4+4=8，
则S△ADE=
AE•DE=
×4×8=16，
又∵S△OEF：S四边形AFOD=2：7，
∴S△OEF=
×16=
，
又∵S△OEF=
EF•OE，OE=4，
∴EF=
，
∴F（4，
），
设直线OF的方程为y=kx，将F（4，
）代入得：k=
，
将直线OF方程与反比例函数解析式联立得：
，
解得：
或
．
∵P点在第一象限内，
∴P（6，
）；
②设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴，
∵S△FDO：S四边形ACOE=2：7，
∴S△FDO=
，
∴FH=y=
代入y=
x+2得：x=-
，
∴F（-
，
），在第二象限，
与图形矛盾，故此时P点不存在，
综上，P的坐标为（6，
）；
（3）点P存在时，P（6，
），则P点关于x轴的对称点为P′（6，-
），
连接P′C交x轴于点Q，
设P′C的方程为y=kx+b，将C与P′坐标代入得：
，
解得：
．
∴P′C的方程为y=-
x+2，
令y=0，解得：x=
，
则Q（
，0）．
| k |
| -8 |
将B（-8，-2）代入一次函数解析式得：-8a+2=-2，解得：a=
| 1 |
| 2 |
（2）分两种情况考虑：
①设P点存在，连接OP交AE于点F，
将A（4，m）代入反比例解析式得：m=4，令一次函数y=
| 1 |
| 2 |
则AE=4，OD=4，DE=OD+OE=4+4=8，
则S△ADE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵S△OEF：S四边形AFOD=2：7，
∴S△OEF=
| 2 |
| 9 |
| 32 |
| 9 |
又∵S△OEF=
| 1 |
| 2 |
∴EF=
| 16 |
| 9 |
∴F（4，
| 16 |
| 9 |
设直线OF的方程为y=kx，将F（4，
| 16 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
将直线OF方程与反比例函数解析式联立得：
|
解得：
|
|
∵P点在第一象限内，
∴P（6，
| 8 |
| 3 |
②设P点存在，连接OP交AC于点F，过F作FH⊥x轴，
∵S△FDO：S四边形ACOE=2：7，
∴S△FDO=
| 32 |
| 9 |
∴FH=y=
| 16 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 9 |
∴F（-
| 4 |
| 9 |
| 16 |
| 9 |
与图形矛盾，故此时P点不存在，
综上，P的坐标为（6，
| 8 |
| 3 |
（3）点P存在时，P（6，
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
连接P′C交x轴于点Q，
设P′C的方程为y=kx+b，将C与P′坐标代入得：
|
解得：
|
∴P′C的方程为y=-
| 7 |
| 9 |
令y=0，解得：x=
| 18 |
| 7 |
则Q（
| 18 |
| 7 |
点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：对称的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及一次函数与反比例函数的交点问题，灵活运用待定系数法是解本题的关键．
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如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=| m |
| x |
| A、-2＜x＜1 |
| B、0＜x＜1 |
| C、x＜-2和0＜x＜1 |
| D、-2＜x＜1和x＞1 |
已知：如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数
如图，一次函数y1=kx+1（k≠0）与反比例函数
如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=-